[摘 要] 根据2008年至2009年中国传染病调查资料,运用研究非典型性肺炎的数学模型SEIJR[4],将其简化为SICR模型,分析并讨论该模型以便预防和预测手足口病.
[关键词] 手足口病,数学模型,SICR模型,重症疫情,平衡点
1 引言
2008年3月上旬,安徽阜阳市几家医院陆续收治了700多名以发热伴口腔、手足臀部皮疹为主的疾病患儿。经卫生部调查检测,确定该病为手足口病疫情。自上世纪70年代以来,一些欧亚国家和地区先后发生较大规模的手足口病流行。今年以来,在新加坡和中国台湾地区的手足口病疫情比去年同期明显上升。安徽以外部分省份的手足口病疫情较去年也有所上升。国内外资料显示,6-7月份是手足口病的发病高峰期。今后一段时间中国部分地区的手足口病疫情还可能上升。手足口病是由肠道病毒引起的,目前这种病毒流行范围已遍布全球。病毒主要通过粪—口传播,易出现爆发流行,其感染对象主要为 5 岁以下的幼儿。
2 SICR模型的建立
我们对SEIJR[4]模型进行简化,将和合并为,去掉潜伏期患者。又考虑到手足口病加重转变成并发重症,在所考虑地区中再加上一类并发重症患者来取代SEIJR模型中确诊者J这类人,以C来表示并发重症患者人数,而在单位时间t时,并发重症患者人数记为C(t),表示由轻症患者并发成重症的比例,而I这类人群指的是手足口病轻症患者,称其为轻症患者。我们简记为SICR模型。
根据目前的医学研究报告来看,手足口病的患者痊愈后,痊愈者对其病毒能永久免疫[5,6]。因轻症患者和并发重症患者都有机会痊愈成为免疫者,所以同SIJR模型中的要分成和这两个部分;表示在单位时间t时,由一般手足口病患者痊愈成为免疫者的比例,而表示在单位时间t时,由肠病毒并发重症患者痊愈成为免疫者的比例。表明单位时间t时的因病死亡率为,表示隔离率。
模型流程图如下,
其中S的单位时间变化量,应为,由,可化简为;同理I的单位时间变化量应为,也化简为
。所以SICR模型方程为:
(1)
3 SICR模型的分析与讨论
由(1)知,当被求得时,就能求出,又当与被求出时,就能求得和,分别为,和。
因此仅分析模型中的
(2)
的部分,这是个线性时不变系统,简记为。以下讨论此模型性质。
首先对于隔离率,有,当表示未采取任何的隔离措施;表示所有该地区的病患已全数隔离。
定理3.1:隔离率愈高则轻症患者人数和重症患者人数会愈高;反之愈低,和会愈低。
证明:1)由(2)的第一式,由(1)知所有的参数和比例系数均不为负数,故在各参数固定仅可变的情况下,愈高,愈高,则愈高,表示单位时间的轻症患者增加人口提高,故轻症患者人口也会愈高。
2) 由(2)的第二式,所有的参数和比例系数同(1)均不为负数,由式子可明显看出和成正比。再由(1)知愈高,愈高,所以也会愈高,表示单位时间的重症患者增加人口提高,故重症患者人口也会愈高。
由1)、2)知愈高,和会愈高。反之易证。
取(2)式初始条件,。记,,得
设,则线性系统可表示成,简记为。显然地,解为。
引理3.1Cayley-Hamilton定理:
设为给定的矩阵,并设为的单位矩阵,则的特征多项式定义为,则。
我们利用引理4.3 的Cayley-Hamilton法求出。由引理3.1得知与其特征值,,代入得
。