摘 要：信号采样是联系模拟信源和数字信息的桥梁。人们对信息的海量需求造成了信号采样、传输和存储的巨大压力。如何缓解这种压力又能有效提取承载在信号中的有用信息是信号与信息处理中急需解决的问题之一。近年来，新兴的压缩感知理论为数据采集技术带来了革命性的突破，得到了研究人员的广泛关注。压缩感知采用非自适应线性投影来保持信号的原始结构，能通过求解最优化问题准确重构原始信号。本文综述了CS(Compressed Sensing)基本理论框架及关键技术，并重点介绍了重构算法及其在信号重构方面的应用。

　　关 键 词：压缩感知;采样定理;稀疏表示;观测矩阵;信号重构 1 引 言传统的信号获取和处理过程主要包括采样、压缩、传输和解压缩四个部分。其采样过程必须满足香农采样定理。在信号压缩中，先对信号进行某种变换，然后对少数绝对值较大的系数进行压缩编码，舍弃零或接近于零的系数，通过对数据进行压缩，舍弃了采样获得的大部分数据，但不影响“感知效果”。

　　然而随着人们对信息需求量的增加，携带信息的信号带宽越来越宽，以此为基础的信号处理框架要求的采样速率和处理速度也越来越高,因而对宽带信号处理的困难在日益加剧。

Candés等在2004年从数学上证明了可以从部分傅立叶变换系数精确重构原始信号，为压缩感知奠定了理论基础。Candés和Donoho在相关研究基础上于2006年正式提出了压缩感知的概念。压缩感知理论与传统奈奎斯特采样定理不同，它指出，只要信号是可压缩的或在某个变换域是稀疏的，那么就可以用一个与变换基不相关的观测矩阵将变换所得高维信号投影到一个低维空间上，然后通过求解一个优化问题就可以从这些少量的投影中以高概率重构出原信号。在该理论框架下，采样速率不决定于信号的带宽，而决定于信息在信号中的结构和内容。 2、压缩感知理论框架简介压缩感知理论指出，设长度为N的信号X在某组正交集或紧框架上的变化系数是稀疏的，如果我们用一个与变化基不相关的观测基：对系数向量进行线性变换，并得到观测集合：。那么就可以利用优化求解方法从观测集合中精确或高概率地重构原信号X。

　　压缩感知理论是一种新的在采样的同时实现压缩目的的理论框架，其压缩采样过程如图1所示。

　　图1 压缩感知理论框架

首先，如果信号在某个正交基或紧框架上是可压缩的，求出变化系数，是的等价或逼近的稀疏表示;第二步，设计一个平稳的、与变换基不相关的维的观测矩阵，对进行观测得到观测集合，该过程也可以表示为信号X通过矩阵进行非自适应观测：(其中);最后利用范数(非零元素的个数)意义下的优化问题求解X的精确或近似逼近：

求得的向量在基上的表示最稀疏。

压缩感知理论主要涉及以下几个方面的内容：(1)对于信号，如何找到某个正交基或紧框架，使其在上的表示是稀疏的，即信号的稀疏表示问题。(2)如何设计一个平稳的、与变换基不相关的维的观测矩阵，保证稀疏向量从N维降到M维时重要信息不遭破坏。(3)如何设计快速重构算法，从线性观测中恢复信号，即信号重构问题。

　　2.1、信号的稀疏表示

稀疏的数学定义[4]：信号X在正交基下的变换系数向量为，假如对于和，这些系数满足：

则说明系数向量在某种意义下是稀疏的。另一种定义[1]：如果变换系数的支撑域的势小于等于K，则可以说信号X是K-稀疏的。

　　如何找到信号最佳的稀疏域?这是压缩感知理论应用的基础和前提，只有选择合适的基表示信号才能保证信号的稀疏度，从而保证信号的恢复精度。在研究信号的稀疏表示时，可以通过变换系数衰减速度来衡量变换基的稀疏表示能力。Candés和Tao研究表明，满足具有幂次(power-law)速度衰减的信号，可利用压缩感知理论得到恢复，并且重构误差满足：

其中。

　　光滑信号的Fourier系数、小波系数、有界变差函数的全变差范数、振荡信号的Gabor系数及具有不连续边缘的图像信号的Curvelet系数等都具有足够的稀疏性，可以通过压缩感知理论恢复信号[6]。

　　2.2、观测矩阵的设计

压缩感知理论中，通过变换得到信号的稀疏系数向量后，需要设计压缩采样系统的观测部分，它围绕观测矩阵展开。观测器的设计目的是如何采样得到M个观测值，并保证从中能重构出长度为N的信号X或者基下等价的稀疏系数向量。显然，如果观测过程破坏了X中的信息，重构是不可能的。观测过程实际就是利用观测矩阵的M个行向量对稀疏系数向量进行投影，即计算和各个观测向量之间的内积，得到M个观测值，记观测向量，即

在这里，采样过程是非自适应的，也就是说，无须根据信号而变化，观测的不再是信号的点采样而是信号的更一般的K-线性范函。对于给定的Y从上式中求出是一个线性规划问题，但由于，即方程的个数少于未知数的个数，这是一个欠定问题，一般来讲无确定解。然而，如果具有K-稀疏性()，则该问题有望求出确定解。此时，只要设法确定出中的K个非零系数的合适位置，由于观测向量Y是这些非零系数对应的K个列向量的线性组合，从而可以形成一个的线性方程组来求解这些非零项的具体值。对此，有限等距性(Restricted Isometry Property, RIP)给出了存在确定解的充要条件。对于任意K稀疏信号X和常数，如果

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