摘要：本文研究了CEV过程下存在交易费的一类回望期权的定价问题，利用无套利原理和Itô公式，建立了期权定价模型，得到了在该模型下期权价格所满足的微分方程，并且给出了微分方程具体的数值解格式，最后通过一个具体实例说明该方法的有效性。

　　关键词：期权定价;回望期权;CEV模型;交易费

　　中图分类号：O211.6，F830.9

　　Abstract: This paper studies one of the valuation of lookback options with transaction cost in the CEV process, then derives the options pricing model and the differential equation of the option pricing model by using Itô formula and no-arbitrage principle, obtains the concrete numerical arithmetic scheme of the differential equation, and validates the validity of the numerical solution by the numerical examples.

　　Key words: Option pricing;Lookback options;CEV model;transaction cost

　　1 引言

　　期权是一种客观的选择权，它赋予其持有者在规定的时间以交易双方约定的价格(执行价格)购买或出售一定数量的某种基础资产的权利，期权可分为欧式期权与美式期权两种基本类型。它是上世纪70年代初出现的一种金融创新工具，30多年来，作为一种防范风险和进行套期保值的有效手段而得到迅速发展。1973年，著名的金融学家， Fisher Black和Myron Scholes在风险中性，有效市场及基础资产价格服从几何布朗运动等假设条件下，运用连续交易保值策略建立了著名的Black-Schole欧式期权定价模型[1](以下简称B-S模型)。后来，Cox，Merton，Ross和Ingersoll等对期权定价进行了深入的研究，做了大量的工作，并将其推广至股指期权、货币期权等许多衍生产品的定价中去[2]。其后，为了市场的需求，在标准期权合同的基础上，运用期权理论和分析方法，设计创造出各种具有不同特征的变异期权品种。回望期权就是其中的一种，它是一种路径依赖型期权，到期日的收益依赖于整个期权有效期内基础资产价格所经历的最大值或最小值。

　　基于B—S模型[1]的基本假设，1979年，Goldman等人给出了回望期权的定价公式[3]， Gonze和Viswanathan(1991年)又对其进行了深入的研究并加以推广[4]，然而这些都是基于B-S模型的假设基础之上得到的。B—S模型中基本假设之一是没有交易费，在没有交易费的有效市场中，投资者可以通过不断改变债券与股票的组合头寸来对冲期权的风险。此时，可以完全复制出与期权相同的权益。但在实际中，交易费是存在的，由于基础资产的价格是不断变化的，就要进行频繁的交易，这样投资者不得不面对数目可观，不可忽视的交易成本，

　　基金项目：安徽省高校省级自然基金项目(2009KJB095, 2009KJB113);教育部社会科学基金(05JA910004)作者简介：袁国军(1981-)，男，安徽霍邱人，讲师，硕士，研究方向：金融数学。

　　且成本是昂贵的[5]。因此运用连续交易策略的方法来对存在交易费时的期权定价是不合适

的。Leland(1985年)，Bensiad, Lesne和Pagés(1992年)考虑了离散情形下有交易费时的期权定价问题[6,7]。其中Leland运用-hedging方法推导出满足类似于Black-Scholes价格方程[6]。为了避免因连续交易保值而产生的过高的交易成本，本文考虑在因调整投资组合头寸而产生交易费的基础上，对交易时间进行离散化处理，并且运用证券组合技术和无套利原理建立了CEV模型中有交易费的欧式浮动执行价格看跌回望期权的定价模型。

　　2 CEV过程下有交易费的回望期权定价模型

B—S模型的另一个基本假设是基础资产价格服从几何布朗运动过程，目前大多数文献也是基于这个假设来研究路径依赖型期权。但文献[8]通过对实际数据的研究分析发现，几何布朗运动与实际市场情况不相符合。CEV 是Constant Elasticity of Variance 的缩写, 意思为波动率弹性为常数, 由Cox 和Ross 最早提出的[9] ，假设资产价格过程为。CEV过程具有基础资产的价格波动与其价格水平相关联的特点。Cox同时指出没“波动微笑”是由股票价格变动与波动变化之间负相关所造成的[10]。

考虑一个具有两个资产的金融市场，其中为无风险债券的价格过程，满足方程,为常数，为无风险利率，为一个风险资产的价格过程，在给定的概率空间中，满足下列随机微分方程：

(1)

其中为无风险利率，为资产价格波动率方差，，，为常数，为一维纳过程，为常数，，称为弹性因子。

交易成本可看作是投资者因进行调整组合头寸而发生的直接费用，一般由交易双方支付。假设为交易量是1美元的交易费用，则买(卖)单位价格为的标的资产，则交易费用为。

令 则

， 令为在 [0,T]上的最大值，则

而 ，所以存在 使得

所以 ，

又 ，

因此

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