摘要：对数域R上矩阵可对角化的条件。依据教育教学的思想，对四类题题型的求解策略进行分析。使之对矩阵的特征值、特征向量、二次型、线性变换、正交变换、微分方程组的解进行创新组合。

关键词：矩阵 对角化 线性变换 特征值 特征向量 策略 引言 矩阵可对角化的理论是高等代数的热点、重点、难点问题。特别是求解过程复杂，涉及知识面宽广;如何砸这核桃，吃这核桃，依据教育数学的思想来阐述数域R上矩阵可对角化的解题策略。 准备知识和一些引理 引理2.1 设线性空间R中线性变换A在两组基：， (1)(2)下的矩阵分别是A和B，从基(1)到基(2)的过度矩阵是，于是B=A。亦称A相似于B。

　　既是说线性变换在不同基下的矩阵是相似的，我们希望在某一个基下线性变换A的矩阵是对角阵，其条件如何?以利于我们求解各类问题。将研究线性变换引向基下矩阵的研究。

引理2.2 设A是n组线性空间R上的一个线性变换，A的矩阵可以在某一组基下为对角阵的充分必要条件分别是： A有n个线性无关的特征向量 A有n个不同的特征值 A的特征多项式有重根，但对应线性无关的特征向量也有个 A是实对称矩阵 A的最小多项式是R上的一次因式的乘积 这里矩阵A是2.1所指矩阵，寻找，使B为对角阵，因此要判断一个线性变换在某个基下的矩阵是否是对角阵，由相似性，我们可以指定2.1中(1)基下的矩阵A来研究求解。 解题策略 题型Ⅰ：设A=是否与对角阵相似，说明理由。

　　分析：这是一个上三角阵，我们可以依据引理2.2(b)来判断。通常先求特

　　征值，如若还不能判断，再用(c)或者用(e)。

　　方法一：

=(-1)(+1)(-2).A的特征值为1、-1、2.

对=2，矩阵(2E-A)=的秩为3.

　　属于2的线性相关特征向量个数是4-3=1.故A线性无关的特征向量只能有3个，所以A不能对角化。

　　方法二：

f()==(

故最小多项式m(，

又(A-E)(A+E)(A-2E)0

f(A)=(A-E)(A+E)(A-2E)=0

m()=(它不是一次因式的乘积，所以A不能对角化

题型Ⅱ：二次型曲面A=2表示什么曲面?其中A=能相似对角化，=(、、)。

　　分析：这个矩阵A不对称,不是二次型的矩阵，但知其能相似对角化，通过可相似对角化可确定参数a，同时也能找出二次型的矩阵，而对于三阶实对称矩阵，我们用合同变换将其变成对角形。比求特征值的方法来得更快、更准。然后得到一个非退化的线性变换，将其变成标准型，就可断定是那种二次曲面了。

解：由A的特征多项式==(得矩阵A的特征值是。由于矩阵A可对角化，故无关的特征向量，那么由：秩(6E-A)=1，，

由此=2，故二次型的矩阵：A=。由合同变换：得，=，取，(y,y。可得二次型的标准型为单叶双曲面。

题型Ⅲ:设A是3阶实对称矩阵，其主对角线元素都是0，并且、2、-1),满足A=2，求①矩阵A;②求正交矩阵T，使T。

分析：由A的一个特征向量和A的对称性质及0元素，依据A可求出A。然后适当选取正交的特征向量(或Schmidt正交化)求出正交矩阵T，使A对角化。

解：设A=，已知是A的一个特征向量，

由A

故A=再求出正交矩阵T，使T。由(，得矩阵A的特征值为，=-4。

当=2时由(2E-A)=0，有。注意：在这里取二个正交非0的正交解。

得到属于=2的特征向量

当，得到属于的特征向量。因为已正交，而不同的特征值的特征向量正交，故只需单位化。有：。取T=(=T即为所求正交阵相应是正交变换。得T。

　　由此题解法，在维数低于4时，求基础解系取正交的比Schmidt正交化简便多了。

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