有这样一个电学实验题：

实验室内有一电压表，量程为500mV，内阻约为2.5KΩ。现要测量其内阻，实验室提供如下器材：

　　电源E1(电动势为3V，内阻不计)，电源E2(电动势为6V，内阻不计)，电阻箱R(阻值0~9999.9Ω)滑线变阻器R1(总阻值约15Ω，额定电流1A)，滑线变阻器R2(总阻值约150Ω，额定电流1A)，开关S及导线若干。

　　在既不损坏仪器又能使精确度尽可能高的条件下，请你选出合适的器材，设计一个测量电压表内阻的电路。

　　①电源应选哪个。滑线变阻器应选哪个。

　　②利用该电路测量的电压表内阻与真实值哪个大

③在答题的虚线框内画出所设计的电路图。

　　分析：

　　该实验中，为了比较精确地测量电压表的电阻，我们可以用用“半偏法”：当电压表与电阻箱串联，电阻箱两端的电压等于待测电压表两端的电压时，电阻箱接入电路的电阻就可以用来代待测电压表的内阻。该实验的电路选择如图一

　　一、有同学发现电源的电动势、电阻的阻值都是已知的，若设电压表满偏电压为U0、与电压表和电阻箱串联部分并联的R1的电阻为R0 ，电源电动势为E，电压表的内阻为RV，则当R=0Ω时，有：

从而得到电阻R0的表达式为：

　　式中R1=15Ω,U0=500mV,RV=2.5kΩ,E为电源电动势。

　　将E分别用3V和6V代入得到R0的阻值分别为：2.514666429Ω以及1.257492244Ω。

调节R，使得电压表的读数为250mV时，再次列式有：

　　通过化简，得：

当E分别为3V和6V时，计算得到R+RV的阻值分别为5002.85Ω、5001.15Ω，从而得到对应的R的阻值分别为2502.85Ω、2501.15Ω，从结果很容易得出电压为3V的电源测出的结果的误差比较大。

　　另外，根据替代的思想、近似替代替代的思想，我们也可以这么讨论：

　　由于题中所给的两个滑动变阻器的电阻都远远小于待测电压表与电阻箱串联后的总电阻，又因为，一个大阻值的电阻与一个阻值比较小的电阻并联后，总电阻值的大小主要决定于小阻值的电阻的阻值，当大阻值的电阻阻值与小阻值的电阻的阻值相差越大时，这个结果就越是精确。即使大阻值的电阻的阻值有些变化，两个电阻并联后的总阻值的变化也很小(小阻值电阻的阻值越小，总电阻阻值的变化也越小)。(电阻的阻值决定于电阻的横截面积、材料、长度以及温度，而电阻并联就相当于其他条件相同时，增加了总电阻的横截面积，阻值越是小的电阻的横截面积越是大，阻值越是大的电阻的横截面积越是小，所以，当两个并联的电阻在阻值相差很大时，大阻值的电阻的横截面积越可以忽略，总电阻的阻值就越接近小阻值电阻的阻值。)

　　所以，该实验中应该从两个滑动变阻器中选择R1。

　　同样，有同学根据前面的理论，即两个电阻的差值越是大，并联后的总电阻越是接近小阻值电阻的阻值这一理论，得出：

　　当电源的电压为6V时，由于R0与R1总阻值的比值更小，从而RV以及RV+R与R0并联后的总电阻越是接近于R0，而且更加稳定，得到这样的结论：从而得出R0与R1总阻值的比值越是小，也就是电源电动势越是高的情况下，测出来的R越是准，电源电动势应该选择6V。

　　从而不需要通过繁杂的计算，很简便地得出答案。

　　但也有同学根据极限是思想认为：当电源电动势为0.5V时，R0与R1的阻值相同，实验的过程中，待测电路两端的电压没有变化，从而测出来的结论：RV=R，从理论上讲没有误差，所以电源的电动势应该是越接近500mV，实验的结论越是准确。

　　现在的问题是，取极限的思想看上去也没有问题，但与前面运算的结果发生矛盾，学生运用的极限思想也无可挑剔，问题究竟出现在哪儿呢?

　　不妨，我们再取比较接近于接近于0.5V的0.6V、1V的电源电动势来计算一下，并把所有的数据汇总为下表： E R0 RV+R(RV=2500Ω) R(R1=15Ω) 0.6V 12.51038202Ω 5002.076475Ω 2502.076475Ω 1V 7.511249975Ω 5003.749992Ω 2503.749992Ω 3 V 2.502084723Ω 5002.84723Ω 2502.84723Ω 6 V 1.250573155Ω 5001.146309Ω 2501.146309Ω 可以发现，取极限的方法在这儿出了问题，主要是题目给出的数据都远离极限的500mV。

　　运算的结果还表明：如果题干中给出的电源的电动势分别为0.6V以及3V，则取极限的方法获得了胜利，而前面近似替代的分析方法又出了问题。

　　既然如此，我们就要怀疑前面运用等效电阻的方法去判断选择R1的依据是否正确，唯一的方法我们还是通过计算来比较。将R1换为R2后计算得到： E R0 RV+R(RV=2500Ω) R(R1=150Ω) 0.6V 126.0077369Ω 50201.54737Ω 2520.154738Ω 1V 76.12474699Ω 5074.983133Ω 2574.983133Ω 3 V 25.20972859Ω 5041.945718Ω 2541.945718Ω 6 V 12.55753127Ω 5011.506254Ω 2511.506254Ω 至少到此为止，我们发现，通过计算的方法得到的结果总是准确的，而运用不同的物理方法走捷径时，如果不能够弄清楚相关的物理方法适用的条件，有时候得到的结论并不是十分可靠的。

　　实际上，运用极限的思想要求数据满足取极限的要求，当然取近似替代的方法中的数据也就要满足取近似替代的要求。

　　分析前面的思维，我们不难发现：运用近似替代的方法选择电源时，我们认为R的阻值是一样的，而事实上，该题中，不同情况下仅仅是待测电压表所在之路的电流的变化值是一样的，而不能够保证不同的情况下R的阻值是一样的。

从公式可以发现：当R0=R1时，误差E=U0，RV+R=2RV，从而得到R=RV,实验的理论误差确实为零。当RO=R1时，的绝对值达到最大，前面的一项≈2RV(E约等于2U0),误差达到了极致。该实验的理论误差的大小与E的大小的关系如图二所示。

　　以上分析说明：该实验中应用到了替代的思想、近似替代的思想、计算的思想、取极限的思想等多种物理思想。不同的物理思想反映了答题者不同的思维方式，但不同的思想得到的结果的可靠性并不一样、不同的物理思想都有自己成立的条件。

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