假定从N个通道获得N个观测信号(i=1,2,…,N),每个观测信号是M个独立信源(j=1,2,…,M)的线性混合,即未知的源信号和观测信号的关系可以描述为：

这里是有噪声情况下的M维观测信号。ICA问题就是在源信号和混合矩阵均未知的情况下，仅由观测信号分离出源信号。做变换：

　　ICA解决该问题的关键一步是建立能够度量分离结果独立性的判据和相应的分离算法,根据不同的独立性判据,ICA有不同的分离算法,目前应用较广泛的是基于负熵的快速ICA算法,即FASTICA。

　　2 基于负熵的快速ICA算法

　　建立ICA模型的目标函数后，再选择合适的优化算法，即可得到各种不同的盲信号分离算法。本文介绍目前比较典型的算法，基于负熵的快速定点算法。

　　芬兰赫尔辛基大学的Hyvarinen提出了“固定点算法(fixed-point algorithm)”,该算法是建立在使提取信号非高斯性极大化基础上的，其计算量小，收敛速度快。

　　2.1负熵

由于负熵作为Gauss性度量其效果优于累积量，因此采用负熵的快速ICA比采用四阶累积量的快速ICA应用更广。负熵的定义：其中为随机变量的信息熵。只有当随机变量y遵从高斯分布时，负熵才为零。因此，y的负熵越大，非高斯性越强，分离效果越好。在ICA中，将负熵作为目标函数，但在实际应用中,需要对概率密度函数(pdf)的估计,而pdf的估计需要较多原始数据,而且数值计算繁琐。因此，通常采用对负熵估计的近似，基于最大化负熵估计可以利用性能较好的比较函数对负熵J(y)进行逼近：，其中是具有零均值单位方差的随机变量;v是单位方差的高斯变量;是均值运算;是非线性函数。

　　2.2 FASTICA算法

在FASTICA算法中，目标函数中的非线性函数的选择必须满足正交归一性。的一些可用的形式有：

，，

通常取; (2.1)

; (2.2)

; (2.3)

　　一般说来，式(2.1)是一个比较好的参照函数。当独立分量分布呈现显著的超高斯特性或对算法的鲁棒性要求很高时，式(2.2)是个更好的选择。只有当估计是高斯分布独立分量且无外来扰动时，式(2.3)才比较合适。

进入稳态时，因此得到固定点迭代的两步算式：

(2.4)

　　由于该算法的收敛性能不是很好，所以改由牛顿(Newton)迭代算法，最终的简化式为：

(2.5)

　　基于负熵的固定点算法步骤如下：

(1)将x去均值(即中心化)，再加以球化(白化)处理，得;

(2)任意选择的初始值，要求，并设置收敛误差;

(3)，选择合适的非线性函数[(见式2.1~2.3)];

(4)归一化：

(5)如果，则算法收敛，否则转向(3)、(4);

(6)由分离矩阵得到源信号的所有估计;

　　采用基于负熵的固定点算法的优点是：1)由于采用Newton法，收敛有保证;2)迭代过程中无需引入调节步长等人为设置的参数，因而更简单方便。该算法流程图：

　　ICA算法流程图

　　3 实验验证

　　3.1仿真实验

　　假设有三种信号，正弦波、锯齿波、随机噪声。对这三种信号进行时域盲源分离。所去点数N=500.

　　源信号(3.1.1)

　　混合信号(3.1.2)

　　分离信号(3.1.3)

　　由图(3.1.3)可以看出，除了信号波形的次序、幅度有些变化外，源信号被很好的分离出来了。可见FASTICA算法对信号的分离是成功的。

　　3.2 齿轮箱故障特征分离实验

　　FASTICA在齿轮箱故障诊断中的应用，下图是测点的选取，选取的原则是测点位置选择在振动信号最敏感的部位,这样获取的响应信号中包含的系统状态信息量最大同时也为了能够顺利的运用独立分量分析方法来分离齿轮箱振动响应信号。本文取断齿故障50Hz下进行分析，选择1~3测点。

　　从时域波形可以看到信号中含有较明显的周期冲激振动成分，但不能提供进一步信息。从功率谱图可以看出，混合信号的功率谱，含有的频率混杂，经过FASTICA后，各种干扰信号得到了很好的抑制，齿轮副II的啮合频率为190.1Hz及其2~4谐波和6次谐波，即图(icasig1)和图(icasig3)，图(icasig2)是齿轮副I的啮合频率699.3Hz。可见独立分量分析方法确实可以将两个特征频率分离，提高故障诊断的精度，降低提取的难度。

　　表1和表2分别是断齿故障和正常工况下的特征参量：

　　表1 断齿故障 峭度指标 测点1 6.725081 测点2 8.66669 测点3 6.881591 表2 正常 峭度指标 测点1 3.30591 测点2 3.12842 测点3 3.17813

　　4 总结

　　盲源分离技术在振源信号和传递通道未知的情况下,仅利用测量信号就可分离出独立振源信号的幅值谱，FASTICA算法不仅提取了源信号故障特征,还具有计算量小的优点。将盲源分离原理中的独立分量分析技术应用于故障信号特征提取，可以有效地消除各个部件之间的振动干扰，从而提高诊断精度,解决实际中故障定位难,早期故障诊断率低的难题，为故障诊断系统提供丰富的诊断信息。

　　参考文献

　　[1] 黄晋英, 毕世华, 潘宏侠等. 独立分量分析在齿轮箱故障诊断中的应用[J].振动、测试与诊断.2008.28(2).126-130.

　　[2] Comon P.Independant Component Analysis—A New Concept [J].Signal Processing,36.1994:287-314.

　　[3] 樊永生.机械设备诊断的现代信号处理方法.国防工业出版社，2009.

　　[4] 石庆斌, 马建仓. 盲源分离在机械振动信号分析中的应用[J].测控技术，2008.27(5).78-80.

　　[5] 项文娟. 齿轮箱故障源信号分析方法及系统研究.浙江大学，2007.

　　[6] Hyvarinen A,Oja E.Independent Component Analysis:http://www.cis.hut.fi/projects/ica/

　　[7] 钟飞，谭中军，史铁林等.基于ICA和小波变换的轴承故障特征提取.微计算机信息.2007(23).

　　[8] 丁康等.齿轮及齿轮箱故障诊断实用技术.机械工业出版社，2005.5.