摘 要：文章简单介绍了Matlab与Mathematica的拟合函数功能，并通过具体例子的数据，分别利用Matlab与Mathematica进行了非线性拟合，对比了它们的应用办法，分析了各自的特点。

　　关键词：数据拟合，Matlab，Mathematica，内建函数

　　Matlab与Mathematica是两种常用的数学软件。Matlab具备卓越的数值计算能力，还提供了专业水平的符号计算，文字处理，可视化建模仿真和实时控制等功能。Matlab的基本数据单位是矩阵，它的指令表达式与数学、工程中常用的形式十分相似。Mathematica是一套整合数值以及符号运算的数学工具软件，提供了人们容易使用的顶级科学运算环境。Mathematica具有高阶的演算方法，以及丰富的数学函数库和庞大的数学知识库，让Mathematica在符号运算，逻辑推理等方面比Matlab做得更快更好，也可以提供精确的数值运算结果。对于很多问题的解决，这两种强大的计算软件都可以做到，但Mathematica比Matlab的操作界面更加简洁直观，输入形式也与传统数学公式相一致，这对于没有学过计算机语言的学生操作起来相对更为方便，Mathematica强大的函数库和知识库，使它可以用简单的函数解决问题。

　　这里我们就数据非线性拟合问题来比较两种软件的应用。

以全国大学生数学建模竞赛2004C题饮酒驾车的数据为例，利用房室模型分析后可建立微分方程组，求得结果为：人若在短时间内喝的酒，则血液中的酒精含量与距离喝酒时间的函数关系为

其中，，，为待定参数。假设一体重为70公斤的人短时间内喝下两瓶啤酒后，隔一定时间测量他的血液中酒精含量(毫克/百毫升)，得到数据为

　　时间(小时) 0.25 0.5 0.75 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 酒精含量 30 68 75 82 82 77 68 68 58 51 50 41 时间(小时) 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 酒精含量 38 35 28 25 18 15 12 10 7 7 4

根据表中数据确定参数，，的值。

　　这里，我们分别利用Matlab与Mathematica的内建函数进行数据拟合，比较他们在使用上的异同，便于大家根据自身实际选择适合自己的数学软件。

　　首先，我们分别用Matlab与Mathematica做出数据的散点图。

在Matlab命令窗口中，分别定义横坐标，纵坐标，以“·”绘出散点图像。

　　>> t = [ 0.25，0.5，0.75，1，1.5，2，2.5，3，3.5，4，4.5，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16 ];

　　>> y = [ 30，68，75，82，82，77，68，68，58，51，50，41，38，35，28，25，18，15，12，10，7，7，4 ];

>> plot = ( t，y，)

　　即可绘制出带坐标的散点图。

　　在Mathematica的NoteBook中输入数据，按照坐标对形式输入数据，用内建函数ListPlot将数据绘制散点图。

In[1]:= data={{}，{}，{}，{}，{}，{}，{}，{}，{}，{}，{}，{}，{}，{}，{}，{}，{}，{}，{}，{}，{}，{}，{}};

　　pg=ListPlot[data]

　　就可以输出的带坐标的散点图。

当数据需手动输入时，Mathematica可以随时将录入错误的数据加以修正，而在Matlab命令窗口中，如果需要修正数据，就必须调出已输入过的数据再加以修改，查找起来不如Mathematica方便。作图时Matlab使用绘图命令plot = ( t，y，)，而Mathematica用ListPlot[data]，两种软件绘图操作都很方便。

　　其次，利用软件的内建函数对此数据进行非线性拟合，做出比较。

　　用Matlab的内建函数对参数求解，可调用最小二乘拟合函数lsqcurvefit( )，先定义非线性函数fun.m文件：

　　function y = fun(a，t)

y =;

这里为，为，代表，即为。

　　在命令窗口中运行以下命令：

　　>> t = [ 0.25，0.5，0.75，1，1.5，2，2.5，3，3.5，4，4.5，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16 ];

　　>> y = [ 30，68，75，82，82，77，68，68，58，51，50，41，38，35，28，25，18，15，12，10，7，7，4 ];

>> a = lsqcurvefit(，[0.2;2;100]，t，y)

　　a =

　　0.1855

　　2.0079

　　114.4329

即，，。根据拟合出的参数值将其代回，作出曲线图与散点图的对比图，可以看出，此曲线拟合程度较好。

　　函数lsqcurvefit是非线性最小二乘法拟合函数，使用格式为lsqcurvefit(fun，x0，xdata，ydata，…)，其中fun是要拟合的函数，x0是各参数的初值，xdata是横坐标，ydata是纵坐标。输入命令时，一般是随意取一组初值，再把算出来的值当作初值继续算，直到两者相差不大为止。如果改变初值，可能会导致给出的参数值产生较大改变。如将本例中初值分别设为0.1，10，79，则求得三个参数值分别为0.1855，2.0079，114.4332，结果变化不大。而当初值设为10，100，10时，求得三个参数值分别为0.1235，100.00，79.4943，改变较大。可见用函数lsqcurvefit做拟合时，初值选取具有不确定性。查看Matlab的帮助文档，nlinfit与lsqcurvefit同属于非线性最小二乘拟合，一般来说都能得到比较接近的结果。但是由于nlinfit使用的是牛顿方法，在使用时也需要给出参数的初值，当问题对初值比较敏感时，不同的初值会导致差异较大。在本例中当初始值设为0.2，10，50时，用nlinfit也可以拟合，而当初值改为0.2，50，100时，非线性拟合命令nlinfit失效。由此可见，在Matlab中用内建函数lsqcurvefit与nlinfit做非线性拟合时，对初值的依赖性是比较大的。当然，Matlab用于拟合的函数还有很多，基于软件Matlab的扩展性，在Matlab中还集成了一个拟合工具箱模块可以调用，功能十分强大。

下面我们在Mathematica的Notebook上，调用内建函数FindFit对数据进行非线性拟合，这里可以按照函数解析式直接进行定义。

In[3]:= modle =;

FindFit[data，modle，{，，}，t]

Out[4]= {，，}

　　In[5]:= modle /.%

Out[5]=

　　In[6]:= fitg = Plot[ %，{t，0，20}];

　　Show[ pg，fitg ]

　　在Out[7]中同样可以得到曲线图fitg与散点图pg的对比图。

在软件Mathematica中，可以按照函数的形式进行定义，便于查找与对照。这里对参数求解使用的内建函数格式为FindFit[data，expr，pars，vars]，其用途是求出参数pars的数值，给出关于自变量vars的函数expr对data最佳拟合。表达式expr对参数可以线性或非线性依赖，在线性情况下，FindFit求出全局最优拟合，在非线性情况下，FindFit通常求出局部最优拟合。

通过对比分析，Mathematica与Matlab都能方便快捷的进行数据拟合运算，计算结果完全一致。在录入数据及表达式方面，Mathematica比Matlab 界面更为直观，并且方便数据输入与命令修改。另外在Mathematica中，也可以直接输入、、等希腊字母，函数表达式与常规书写一致，这对无编程基础的学生来说，操作与修改都很直观，便于查找计算结果。在拟合函数方面， Mathematica里有Fit和FindFit两种用于拟合的内建函数。Fit采用函数列表，用一个确定且有效的步骤找到产生最佳二乘拟合的函数线性组合。FindFit既能用于线性拟合，也能用于非线性拟合，通过搜索产生数据最佳拟合的参数值，可以设置选项参数选择所需的搜索精确度、最大迭代次数等，也可以通过设置选择需要的内部运算方法，如MethodQuasiNewton表示用牛顿方法，MethodNMinimize表示用搜索全局极小值的办法。一般情况下，不必设置选项参数直接用FindFit拟合，系统会自动寻找最佳拟合方法求出参数值。Matlab里提供了fit，polyfit，nlinfit，lesqcurvefit等几类线性、非线性拟合函数，用函数lesqcurvefit或nlinfit进行非线性拟合时，需要选取初值，计算结果受初值影响较大。而在Mathematica中用FindFit拟合不需要输入初始值，内建函数能够自动找出最佳数据拟合的参数值，非常方便，当然在需要时，也可以输入初值或约束条件。

　　Mathematica与Matlab在数据拟合上的功能都十分强大，而根据教学实践情况，学生更易于接受Mathematica的使用，而且Mathematica还提供了互动且丰富的帮助功能，在8.0版本中还出现了中文帮助，使学生容易理解软件的操作，可以现学现用。Mathematica这种强大的功能，简单的操作，加上非常容易学习特点，使学生可以更快的掌握并运用。

　　参考文献：

　　[1] 姜启源，谢金星，叶俊. 数学模型(第三版)[M]. 北京：高等教育出版社，2003.

　　[2] 顔文勇. 数学建模[M]. 北京：高等教育出版社，2011.

　　[3] 卓金武　MATLAB在数学建模中的应用[M].北京航空航天大学出版社，2011.