摘要:本文基于Black—Scholes框架下,建立不带违约风险及转股价可向下修正的可转换债券的偏微分方程模型,将连续的时间离散化,得出路径依赖的二叉树方法的数值解;再结合违约时间的概率密度函数得出带违约风险及转股价可向下修正的可转换债券的理论期望值;最后得出违约风险只在股价很高时才影响可转换债券价格,而可向下修正条款只影响股价在转股价附近时的可转换债券价值。
关键字:Black—Scholes期权定价模型;二叉树方法;可转换债券;风险中性
一.引言
可转换债券是一种附有转股权的特殊债券,在转股之前是一种公司债券,具备债券的一切特征;在转股之后,具有股票的特性,持有人就由债权人转变成了股权所有者。由于可转换债券的利率低于普通债券的利率,发行公司通过可转换债券融资可以减低其成本;同时又因其利息支付优先于派发红利的特点,使得可转换债券的收益比股票更有保障。近年来,随着我国金融市场的进一步完善和开放,大量的国际资本开始涌入我国证券市场,各种投资基金纷纷登陆中国这一新兴资本市场,新的投资理论开始冲击原有的一些投资策略。可转换债券以其独特的特点受到了证券市场方方面面的青睐,尤其在外资基金中,花旗集团、瑞银华宝、摩根士丹利等合格境外机构投资者都持有大量的可转换债券。上市公司为了满足经济高速发展的需要和扩大规模的欲望,也纷纷发行可转换债券来融资。
前人对可转换债券定价的研究大致可以分为两大类:基于公司价值的定价模型和基于权益价值的定价模型。
基于公司价值的可转换债券的定价模型最早见于Ingersoll(1977[1])和Brennan和Schwartz(1977,[2])。他们假设公司价值服从几何Brown运动,可转换债券的价值依赖于公司价值这一标的变量。运用Black—Scholes的期权定价方法导出了可转换债券的价值。但是该模型假设利率为常数,但可转换债券的期限一般都很长,假设利率为常数就显得不尽合理。后来Brennan和Schwartz(1980[3])考虑了利率的波动,认为可转换债券受公司价值和市场利率波动因素的影响,导出了可转换债券所满足的偏微分方程,利用数值方法给出了模型的解。在Brennan和Schwartz(1980[3])的模型基础上,Nyborg(1996[4])考虑了回售条款和浮动利息对可转换债券价值的影响。但是由于公司价值的相关数据在实际中很难获得,因而减弱了其研究价值。
基于权益价值的可转换债券的定价模型首先由Mc Connel和Schwartz(1995[5])建立,模型假设公司的股票价格服从波动率为常数的几何Brown运动,用Black—Scholes的期权定价理论导出了可转换债券满足的偏微分方程,求出了其理论价值,但模型没有考虑公司的违约风险对可转换债券价值的影响。后来Goldman Sachs(1994[6])将违约风险因素考虑进了可转换债券的定价模型中,并假设利率、股票波动率和违约风险率都是已知的常数,可转换债券的价值只依赖于公司股票的不确定性,导出了可转换债券满足的偏微分方程。Tsiveritotis 和 Fernandes(1998[7])进一步将股价的单因素定价模型进行完善,把可转换债券的价值分解为现金部分和权益部分,其中现金部分采用风险折现率折现,权益部分采用无风险利率折现。
本文对带违约风险及转股价可向下修正的可转换债券的定价研究,首先在Black—Scholes框架下建立起不带违约风险的转股价可向下修正的可转换债券的偏微分方程模型,用路径依赖的二叉树方法求出其数值解;然后再结合违约时间的概率密度函数得出带违约风险及转股价可向下修正的可转换债券的理论期望值;最后利用matlab分析各条款对可转换债券价值的影响。
二.数学模型
自2007年夏季美国爆发次贷危机以来,金融危机就陆续在全球范围蔓延。金融危机的爆发给上市公司融资带来了很大的困难,同时也降低了投资者的投资热情。为了扭转这种不利的局势,上市公司发行当股价下降时转股价可以向下修正的可转换债券,修正的股价依赖于一段时间内股票的最高价,为了防止股价在短时间内被操纵;而违约风险的考虑是为了帮助上市公司在经济环境不好,投资热情不高的条件下筹集到更多的融资、扭转企业的财务困境、进一步加快经济复苏而设计的一个新条款。
为了便于数学处理的方便,对实际问题进行了一些简化和抽象,对此给出一些基本假设:
(1) 无风险利率为常数r,股票红利率为常数q,波动率为常数 。可转换债券只能在到期日t=T时可选择转股,转股价为常数 ,且债券无违约风险,可转换债券的面值为1,票面利率为 。
(2) 在时间T债券持有人可实施转股条款,如果T时刻前 天的最高价 低于 ,转股向下修正为 ( )。其中 。
(3) 股票价格 服从几何Brown运动,即 ,其中随机过程 为Wiener过程, 为股票的期望收益率, 为股票的波动率。
(4) 违约时间 服从概率密度函数为 的分布。
(5) 市场是有效、无交易费用和税收。
(6) 不存在套利机会。
用X表示可转换债券在T时的转股价,由假设(2)可知:
(1)
在T时刻,转股的最优策略是选择转成股票后的价值与继续持有债券的价值中最大的,考虑在t=T时刻可选择转股和不转股,得到
(2)
(3)
由Ito引理和无套利原理得到可转换债券价值 适合下列偏微分方程
(4)
三.模型求解
3.1.不考虑违约风险情况
3.1.1.对模型中偏微分方程进行分析
由于模型中最大股价J不是t的可微函数,对J进行逼近
令 ,则有结论
证明:
而 ,所以存在 的数,使得 成立。
所以 ,又有 ,则有 =1,即证。
从而有 。以上偏微分方程可以变换为: 。
3.1.2.对模型中的终值条件分析
其中
可以看出终值条件实际上包含两个部分:一部分是面值为1、票面利率为 、到期日为T的普通债券的价值;另一部分 是类似 份以 为标的资产回望期权的终值。可转换债券的价值实际上可以分解为二个部分: 。
其中 是以下模型的解:
(5)
解之得: (6)
是以下模型的解:
(7)
要获得以上模型的显示解是很困难的,本文采用路径依赖的二叉树方法来得到以上模型的数值解。
首先对期权的有效期 进行N等分: ,其中 .
建立随机变量S、J、V的二叉树过程:设 表示在 时刻原生资产价格的所有可能取值,u、d表示原生资产价格上升、下降的比率; 表示在 时刻当原生资产价格为 时路径变量的所有可能取值, 是相应于 路径变量的指标集合。则在i与i+1两时刻期权的价值可以表示如下:
在市场无套利的假设下,通过 —对冲原理,并引入风险中性概率测度P,可以得到下式 成立,其中 ,q为红利率。
在 可以知道可转换债券的收益函数,即 ( )为已知,现在的任务是如何得到 ,其算法步骤可以描述如下: