摘要：Hausdorff维数简化计算方法是路网覆盖形态评价模型的一种较为简单的近似算法, 可以反映路网覆盖的均匀程度。在地级市尺度内用Hausdorff维数简化计算方法测算出公路网络的权维数和干线分维数，并与各地级市的综合经济指数做相关分析，得到它们之间是密切相关的。从而对基于分形理论的路网规划和优化模式提供了很好的理论根据，为促进区域经济平衡发展，提高区域经济综合指数都具有重要的现实意义。

　　关键词：Hausdorff维数;权维数;干线分维数;区域经济;经济指数

　　中图分类号：F299.24 文献标识码： A

　　1. Hausdorff维数及其简化计算方法概述

　　定量刻画分形特征的参数是分形维数(简称分维)[1][2]。

　　(1)Hausdorff维数

　　Hausdorff维数由一般的一维线段、二维圆、三维的球体推导出：

　　N(r)= cr-Df ∝ r-Df

　　C为常数，r为所测客体容积的半径，Df是维数。这一维数就是经典的分形维数一豪斯道夫维数[3][4]。我们都知道，将正方形的边长放大L倍，面积即会扩大L2倍，如果正方体的边长扩大L倍，则体积会扩大L3倍。则同样可以推理，对于某客体，如沿其每个独立方向皆放大L倍，若新客体为原客体的K倍，那么必有：

　　K = L Df

　　所以客体的维数Df为:

　　Df =lnK/lnL

　　分数维是描述分形特征的定量参数。经典的分形维数一豪斯道夫维数，定量地描述一个点集规则或不规则的几何尺度，同时其整数部分反映图形的空间规模，这揭示了分形维数的意义 [5-12]。

　　(2)Hausdorff维数简化计算法——路网覆盖形态的指标

　　计算方法：用间隔为r的格子把平面分割成边长为r的正方形网络，计研究对象落人正方形格

　　子的数目，并记为N(r)，使r变化时，N(r)也随之而变。在N(r)与r的双对数关系图上，标绘出数据点，然后用最小二乘法拟合出一条直线，并用下式表示:

　　lgN(r)=A – Dlgr

　　式中的D实际上就是上式对数坐标系中直线率的大小，D值越大，则N(r)增加越快，D值即为所研究对象的分维数。

　　地理意义及优势：在同样的路网密度情况下路线分布的越均匀，路网覆盖度之值越高。路网密

　　度指标适于宏观层次的规划问题，路网覆盖度指标则适用于较为具体的网络规划，它比路网密度指标更为符合实际评价和规划的要求[13-16]。

　　基于分形理论的长度——半径维数、分支维数、关联维数等在交通领域应用广泛，个有千秋。而Hausdorff维数简化计算法是路网覆盖形态评价模型的一种较为简单的近似算法, 可以反映路网覆盖的均匀程度，促进地区均衡发展和总体经济提高方面具有重要意义[17-21]。本文正是出于这种初衷，以安徽为研究实例，展开了对路网分形维数与区域经济发展关系的研究。

　　2. 交通网络研究中影响分形维数的因素的探讨

　　在路网应用研究中，公路里程、路网面积、路网密度、无标度区间、地图比例尺等等都会对分

　　维数产生影响。如下面例子：

　　(1)面积不同，里程一样，密度不同，均匀分布，无标度区间同，比例尺同。(见图1)

　　(a) (b)

　　图1 路网里程相同

　　Fig.1 Road network in the same mileage

　　经测算得小图(a)的D=0.9376 ，小图(b)D = 1.1513 。

　　(2) 面积不同，均匀分布(一)，里程不同，密度不同，无标度区间同，比例尺同。(如图2)

　　(c) (d)

　　图2 路网分布相同

　　Fig . 2 The same distribution of road network

　　+ (c)中的D =0.9376 ，(d)中D = 0.9656

　　(3)分布均匀(二)，面积不同，里程不同，密度不同，无标度区间同，比例尺同。(如图3)

　　(e) (f)

　　图3 路网分布均匀

　　Fig.3 Symmetrical distribution of road network

　　由上面知：图(e)中D = 1.0413，图(f)D = 0.9656。

　　(4)里程不同，面积一样，密度不同，均匀分布(三)，无标度区间同，比例尺同。如图4：

　　(g) (h)

　　图4 路网面积相同

　　Fig.4 The same area of road network

　　经过测算得到(c)中D = 1.0071 , (d)中的D = 1.0413

　　(5)分布不均匀，面积相同，里程相同，密度相同，无标度区间同，比例尺同。(如图5)

　　(i) (j)

　　图5 路网分布不同

　　Fig.5 Distribution of different road network

　　(i)中D = 0.98 ，(j) 中D = 1.0071 ，显然后者均匀分布的D值大于前者的不均匀分布D值，后者对区域平衡发展是有好处的，从而也会带动整个经济的增长。

　　(6)无标度区间不同，面积相同，密度相同，里程一样，均匀分布，比例尺同。(如图6)

　　图6 标度区间不同

　　Fig.6 The different scale interval

　　把标度区间设在2，4，6，8(单位：km)时，D = 1.0413 ，而把标度区间设在2，4，6，8，10(单位：km)时，D = 1.0607。

　　(7)至于所采用的地图比例尺会决定道路的取舍问题，所用的投影方法不同可能会影响道路的分布的形状，这都对分形维数或多或少有一定的影响。

　　3. 安徽17个地级市公路网络的分维实测

　　3.1 各等级公路网络的分形维数测定

　　首先对扫描好的栅格图导入到ArcGIS配准后进行矢量化 ，然后以2km为步长，按照r分别为2km、4km、6km、8km、10km、12km、14km、16km、18km、20km的标度利用ArcToolBox对17地级市的高速公路、国道、省道、县道、全部公路、干线(含高速、国道、省道)将矢量图转换为栅格图，分别打开这些栅格图的属性表，把它们的栅格数N记录下来并和各自的r值一起录入到Excel表格中，算出相应的lg值。然后绘出lgri—lgN(ri)散点图，并用最小二乘法做回归分析，拟合直线结果如图7，该直线的斜率的绝对值就是该等级公路网络的分形维数。由此得到安徽17个地级市不同等级公路网络的分维数(见表2)。

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