摘要:由于第一类积分方程的不适定性,考虑用双侧差商来计算,利用一致有界原理证明了此种方法构造了一个正则化策略.
关键词: 一致有界原理;正则化策略;第一类积分方程
一致有界原理在泛函分析中有着非常重要的地位,起着非常重要的作用.但是如何用其求解实际问题的例子可参考的资料却不多,尤其是在反问题中例子较为少见.为了更充分说明它的重要性,下面给出一致有界原理在反问题中的应用。其中借用了Tikhonov正则化策略定义给出了详细的证明过程.
首先给出一致有界原理:
定理1:设是巴拿赫空间,是赋范空间,是单射,,,若,满足,则.
定理2:设是巴拿赫空间,是赋范空间,是子空间,,其中,则下列两结论是等价的:
(i)若,,则;
(ii)若,,则,.
在微分方程反问题中,许多反问题的例子都归究为求解第一类积分方程:,其中,,,,其中通常是已知的,要求.而事实上我们知道第一类积分方程是不适定的.为了计算第一类积分方程,考虑用双侧差商来求解.在此要借用Tikhonov正则化策略定义,因此,下面先给出此定义:
定义:设,是一族线性有界算子,若满足,,则称为正则化策略.
令步长为,定义
其中.
证明:定义了一个正则化策略.
为了说明定义了一个正则化策略,由正则化策略定义,只需证明在算子范数下是一致有界的,且对于光滑的,即可.
证明:由微积分基本定理知
这样可得
再由柯西-许瓦兹不等式得
由及上相同讨论,可估计得,使得,由,,显然是一致有界的.
下面证明是收敛的.
令,则,在上,由泰勒公式得
①
②
①-②得
改变积分次序,由柯西-许瓦兹不等式得
同理在及上由泰勒公式得
,,
由的一致有界性得,.再由定义即可证得是正则化策略.
参考文献:
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