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【出 处】 2018年 1期
【收 录】中文学术期刊网
【作 者】 何国雄
【单 位】
【摘 要】 配方法是对数学式子进行一种定向变形——配成“完全平方”的技巧。在解决相关问题时,将目标看成某个变量的二次式,并将其配成一个完全平方与一个常量
配方法是对数学式子进行一种定向变形——配成“完全平方”的技巧。在解决相关问题时,将目标看成某个变量的二次式,并将其配成一个完全平方与一个常量的代数和的形式,以达到发现和研究问题性质、化繁为简之目的。它主要适用于:已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解,或者缺xy项的二次曲线的平移变换、化简变形等问题。解题时,何时配方,需要我们适当预测,并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧,从而完成配方。
利用“配方”变形、求值
例1. 已知长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为_____。
A. 2 B. C. 5 D. 6
解:设长方体长宽高分别为x,y,z,由已知“长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24”而得:。长方体所求对角线长为:===5。所以选B。
例2. 已知,化简:
解:
. ,,
原式.
利用“配方”求最值、值域
例3函数()的最大值为
解:,结合二次函数的图象知,当时,函数有最大值,。
例4 若,且,则的取值范围为
解:由得,又,而,结合二次函数的图象知,此式关于在上递减,故所求的取值范围为。
利用“配方”处理不等式、比较大小
例5 已知,则不等式①,②,③中一定成立的有
解:,①式成立;
;②式成立;
(当且仅当时取等与号),③式不一定成立。故填①②。
利用“配方”处理曲线方程
按向量a 平移,使方程变为,则a
解:方程即
令,得.由平移公式,a
例7 已知是曲线上任一点,求式子的最小值。
解:曲线即.它表示一个圆,对应的参数方程为
.易知当时,取得最小值